Diseño de Sistemas de Control

Este capítulo, supone la culminación de todos los anteriores, ya que nos sumergirá directamente en el sugerente problema de diseñar sistemas de control de acuerdo a unas normas de funcionamiento y utilizando todas las herramientas que en este momento ya conocemos.
Como sabemos, un control automático compara el valor efectivo de salida de una planta con el valor deseado, determina la desviación y produce una señal de control que reduce la desviación a cero o a un valor pequeño. La forma en que el control automático produce la señal de control recibe el nombre de “acción de control”.
Seguidamente veremos las acciones de control básicas utilizadas comúnmente en los controles automáticos industriales (como por ejemplo la derivada e integral del error). Como es obvio, también veremos las formas de compensar los servosistemas, utilizando diversas técnicas. También haremos algunos comentarios comparando distintos tipos de compensación, y daremos
ejemplos de construcción física (electrónica) de algunos de ellos.

El problema del diseño

A menudo se emplean especificaciones de diseño para describir qué debe hacer el sistema y cómo hacerlo. Estas especificaciones son únicas para cada aplicación individual y con frecuencia incluyen especificaciones como estabilidad relativa, error de estado estacionario, respuesta transitoria y características de respuesta en frecuencia. En algunas aplicaciones puede
haber especificaciones adicionales sobre sensibilidad a variaciones de parámetros (por ejemplo, robustez o rechazo a perturbaciones).
El diseño de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, la precisión (error) en estado estable a menudo se especifica con respecto a una entrada escalón, una entrada rampa o una entrada parábola, y el diseño para cumplir ciertos requisitos es más conveniente realizarlo en el dominio del tiempo. Otras especificaciones como el sobreimpulso máximo, tiempo de subida o tiempo de estabilización, están definidas para una entrada escalón unitario, y por tanto se emplean para diseño en el dominio del tiempo. Se sabe que la estabilidad relativa también se mide en términos del margen de ganancia, margen de fase, y Mr. Estas son especificaciones típicas del dominio de la frecuencia y deben emplearse junto con herramientas como la traza de Bode, la traza polar, la de Black o Nichols.
Se ha mostrado que, para el sistema prototipo de segundo orden, existen relaciones analíticas simples entre estas especificaciones, en los dominios del tiempo y de la frecuencia. Sin embargo, para sistemas de orden superior, la correlación entre las especificaciones entre los dominios del tiempo y la frecuencia son difíciles de establecer. No obstante, el análisis y diseño de sistemas de control es más un ejercicio de selección, entre varios métodos alternativos, para resolver el mismo problema. Por tanto, la selección de si el diseño se debe realizar en el dominio del tiempo o de la frecuencia depende de la preferencia del diseñador. Sin embargo, se debe señalar que, en la mayoría de los casos, las especificaciones en el dominio del tiempo tales como
sobreimpulsos, tiempo de subida y de estabilización se emplean normalmente como la medida final del comportamiento del sistema. Para un diseñador sin experiencia, es difícil comprender la conexión física entre las especificaciones en el dominio de la frecuencia tales como márgenes de ganancia y fase, pico de resonancia, con el comportamiento real del sistema. Por ejemplo, ¿un margen de ganancia de 20db garantiza un sobreimpulso máximo inferior al 10%?. Para un diseñador tiene más sentido especificar, por ejemplo, un sobreimpulso máximo menor que el 5%, y un tiempo de estabilización inferior a 0.01s. Es menos obvio que, por ejemplo, un margen de fase de 60º y un Mr de menos de 1.1 en su comportamiento.
Históricamente, el diseño de sistemas de control lineales fue desarrollado con una gran cantidad de herramientas gráficas tales como las trazas de Bode, Nyquist, Black, y la carta de Nichols, que se realizan en el dominio de la frecuencia. La ventaja de estas herramientas es que se pueden bosquejar mediante métodos aproximados sin realizar el dibujo detallado. En consecuencia, el diseñador puede realizar diseños empleando especificaciones en el dominio de la frecuencia tales como margen de ganancia, margen de fase, Mr, etc. Los sistemas de orden superior no presentan mayor problema.
Para ciertos tipos de controlador, existen procedimientos de diseño en la frecuencia que reducen el esfuerzo de prueba y error a un mínimo.
El diseño en el dominio del tiempo que emplea especificaciones de diseño tales como tiempo de subida, tiempo de retardo, tiempo de estabilización, sobreimpulso máximo, etc., es factible analíticamente sólo para sistemas de segundo orden o que se puedan aproximar mediante sistemas de segundo orden. Los procedimientos generales de diseño que emplean especificaciones en el dominio del tiempo son difíciles de establecer para sistemas de orden superior a dos.
El desarrollo y la disponibilidad de software computacional amigable y poderoso ha cambiado rápidamente la práctica del diseño de sistemas de control, que hasta hace poco había estado dictado por el desarrollo histórico.
Con herramientas de software modernas, el diseñador puede correr, en unos cuantos minutos, un gran número de diseños empleando especificaciones en el dominio del tiempo. Esto disminuye considerablemente la ventaja histórica del diseño en el dominio de la frecuencia, el cual está basado en la conveniencia de realizar el diseño gráfico en forma manual. Además, generalmente es difícil, excepto para el diseñador experimentado, seleccionar un conjunto coherente de especificaciones en el dominio de la frecuencia que correspondan a requisitos de comportamiento en el dominio del tiempo. Por ejemplo, especificar un margen de fase de 60º tendrá sentido si se sabe que corresponde a un cierto sobreimpulso máximo. En general, para controlar el sobreimpulso máximo, se tiene que especificar al menos el margen de fase y Mr. Eventualmente, el establecer un conjunto inteligente de especificaciones en el dominio de la frecuencia se convierte en un proceso de prueba y error que precede al diseño real, el cual, a menudo, también es un esfuerzo de prueba y error. Sin embargo, los métodos en el dominio de la frecuencia aún son valiosos al interpretarse rechazo al ruido y propiedades de sensibilidad del sistema, y la mayoría de ellos ofrecen otra perspectiva al proceso de diseño.
Por lo anterior, en este capítulo, las técnicas de diseño en los dominios del tiempo y la frecuencia serán tratadas de manera estrecha, para que se pueda realizar una comparación y una referencia cruzada entre los métodos alternativos.

Tipos de compensación

En general, la dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse por la figura 1. El objetivo de diseño es que las variables controladas, representadas por el vector de salida y(t), se comporten en cierta forma deseada. El problema esencialmente involucra el determinar la señal de control u(t) dentro de un intervalo prescrito para que todos los objetivos de diseño sean satisfechos.

La mayoría de los métodos de diseño de sistemas de control convencionales se basan en el diseño de una configuración fija, en el que en un principio, el diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado completo, y el lugar donde el controlador estará colocado, en relación con el proceso controlado. Entonces, el problema involucra el diseño de los elementos del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzos de control involucran la modificación o compensación de las características de comportamiento del sistema, el diseño general que emplea una configuración fija también es llamada compensación.
La figura 2 ilustra varias configuraciones comúnmente empleadas con compensador, las cuales se describen brevemente a continuación.
Compensación en serie (cascada). La figura 2(a) muestra la configuración del sistema más comúnmente utilizada con el controlador colocado en serie con el proceso controlado.
Compensación mediante realimentación. En la figura 2(b), el controlador está colocado en la trayectoria menor de realimentación.
Compensación mediante la realimentación de estado. La figura 2(c) muestra un sistema que genera la señal de control mediante la realimentación de las variables de estado a través de ganancias constantes reales.

El problema con el control mediante la realimentación de estado es que para sistemas de orden superior, el gran número de variables de estado involucradas requeriría una gran cantidad de transductores para detectar las variables de estado para la realimentación. Por lo que puede resultar costoso y nada práctico. Aún para sistemas de bajo orden, a menudo no todas las variables de estado son asequibles directamente, y puede ser necesario crear un observador o estimador que estime las variables de estado a partir de las mediciones de las variables de salida.
Estos tres primeros tipos (a), (b) y (c), tienen solamente un grado de libertad, ya que sólo hay un controlador en cada sistema, aun cuando el controlador pueda tener más de un parámetro que pueda variar. La desventaja con un controlador de un solo grado de libertad es que los criterios de comportamiento que pueden realizarse están limitados. Por ejemplo, si un sistema es diseñado para alcanzar un cierto grado de estabilidad relativa, puede tener baja sensibilidad a variaciones de parámetros. O si las raíces de la ecuación característica se seleccionan para proporcionar una cierta cantidad de amortiguamiento relativo, el sobreimpulso máximo de la respuesta escalón puede ser excesivo, debido a los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado. Los esquemas mostrados en las figuras 2 (d), (e) y (f) tienen dos grados de libertad.
Compensación en serie-realimentada. La figura 2(d) muestra la compensación en serie-realimentada para la cual se emplea un controlador en serie y un controlador en la realimentación.
Compensación prealimentada. Las figuras 2 (e) y (f) muestran la llamada compensación prealimentada. En la (e) el controlador prealimentado Gcf(s) es colocado en serie con el sistema en lazo cerrado, que tiene un controlador en serie Gc(s). En la (f), el controlador prealimentado Gcf(s) está colocado en paralelo con la trayectoria directa. La clave de la compensación prealimentada es que el controlador Gcf(s) no esté en el lazo del sistema, por tanto, no afecta a las raíces de la ecuación característica del sistema original.
Los polos y ceros de Gcf(s) se pueden escoger para añadir o cancelar los polos y ceros de la función de transferencia en lazo cerrado.
Uno de los controladores más ampliamente utilizados en estos esquemas de compensación que acabamos de mencionar es el controlador PID, el cual aplica una señal al proceso que es una combinación Proporcional, Integral y Derivada de la señal de actuación. Debido a que estos componentes de la señal se pueden realizar y visualizar con facilidad en el dominio del tiempo, los controladores PID se diseñan comúnmente empleando métodos del dominio del tiempo. Además de los controladores PID, los controladores de adelanto, atraso, atraso-adelanto y de muesca también se emplean frecuentemente. Los nombres de estos controladores provienen de las propiedades de sus respectivas características en el dominio de la frecuencia.
No obstante, estas tendencias de diseño, todos los diseños de sistemas de control se benefician al observar los diseños resultantes desde ambos puntos de vista, en los dominios de la frecuencia y del tiempo.

Reguladores

Después de que se ha escogido una configuración del controlador, el diseñador debe escoger un tipo de controlador que, con la selección adecuada de los valores de sus elementos, satisfará todas las especificaciones de diseño.
Los tipos de controladores disponibles para el diseño de sistemas de control están limitados sólo por la imaginación. Los ingenieros prácticos, normalmente establecen que uno escoge el controlador más simple que cumpla con todas las especificaciones de diseño. En la mayoría de los casos, mientras más complejo sea un controlador, es más costoso, menos fiable y más difícil de diseñar. El escoger un controlador determinado para una aplicación específica se basa a menudo en la experiencia del diseñador, y algunas veces en la intuición, e involucra inevitablemente tanto arte como ciencia.

Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar los valores de los parámetros del controlador. Estos parámetros son típicamente coeficientes de una o más funciones de transferencia que componen al controlador. El enfoque de diseño básico es emplear las herramientas de análisis discutidas en los capítulos anteriores para determinar cómo los valores de los parámetros individuales afectan las especificaciones de diseño, y finalmente, el funcionamiento del sistema. Con base en esta información, se determinan los parámetros del controlador para que se cumplan las especificaciones de diseño. Mientras algunas veces este proceso es directo, más frecuentemente involucra muchas iteraciones de diseño, ya que normalmente los parámetros del controlador interactúan unos con otros y afectan a las especificaciones de diseño en formas conflictivas. Está claro que mientras más especificaciones de diseño y más parámetros haya, el proceso de diseño se vuelve más complicado.
Al realizar el diseño ya sea en el dominio del tiempo o de la frecuencia, es importante establecer algunas guías básicas o reglas de diseño. Se debe mantener en mente que el diseño en el dominio del tiempo normalmente se basa fuertemente en el plano s y en el lugar geométrico de las raíces. El diseño en el dominio de la frecuencia está asado en la manipulación de la ganancia y la fase de la función de transferencia de lazo para que se cumplan las especificaciones.
En general, es útil resumir las características en el dominio de la frecuencia y del tiempo para que se puedan emplear como guía para propósitos de diseño.
i)Los polos complejos conjugados de la función de transferencia en lazo cerrado producen una respuesta al escalón unitario que es subamortiguada. Si todos los polos son reales, la respuesta al escalón unitario es sobreamortiguada. Sin embargo, los ceros de la función de transferencia en
lazo cerrado pueden causar un sobreimpulso aún si el sistema es sobreamortiguado.
ii)La respuesta de un sistema está dominada por aquellos polos más cercanos al origen del plano s (y que no tengan ceros próximos). Los transitorios debidos a aquellos polos a la izquierda decaen más rápidamente.
iii)Mientras más alejados a la izquierda en el plano s estén los polos dominantes del sistema, el sistema responderá más rápido y mayor será el ancho de banda.
iv)Mientras más alejados a la izquierda del plano s estén los polos dominantes del sistema, más caro será y más grandes serán sus señales internas. Aunque esto se puede justificar en forma analítica, es obvio que golpear más fuerte un clavo con un martillo hará que el clavo entre más rápido, pero requiere más energía por golpe. En forma similar, un coche de carreras puede acelerar más rápido, pero emplea más combustible que un coche normal.
v)Cuando un polo y cero de una función de transferencia de un sistema se cancelan uno con el otro, la porción de la respuesta del sistema asociada con el polo tendrá una magnitud más pequeña.

vi)Las especificaciones en los dominios del tiempo y de la frecuencia están asociadas vagamente. El tiempo de subida y el ancho de banda son inversamente proporcionales. El margen de fase, el margen de ganancia, Mr son inversamente proporcionales al amortiguamiento.
De acuerdo con su acción de control, los controles automáticos típicos industriales se pueden clasificar en:

-Controles de dos posiciones o de sí-no.
-Control proporcional (P).
-Control integral (I).
-Control proporcional e integral (PI).
-Control proporcional y derivativo (PD).
-Control proporcional, integral y derivativo (PID).