Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado.
Dado un sistema en lazo cerrado, sus polos determinan las características básicas de su respuesta transitoria. Habitualmente, lo que se desea es poder ajustar los polos y ceros del sistema en lazo abierto, para situar los del lazo cerrado en la posición más interesante para nuestros propósitos.


Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica.
Es necesario descomponer en factores el polinomio característico para hallarlos, lo que suele ser bastante laborioso para grados superiores a tres. Se podrían descomponer mediante técnicas clásicas, pero si se dispone de un parámetro ajustable, se debería repetir el proceso para cada posible valor del parámetro (k).
Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por tanto, es importante que el diseñador conozca cómo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme varía la ganancia de lazo.
El método del Lugar geométrico de las Raíces (“root-locus method”) fue desarrollado por W.R.Evans en un artículo titulado “Graphical Analysis of Control Systems” en la revista Transaction del AIEE en 1.948. La importancia de este método reside en el hecho de que se puede observar muy fácilmente cómo varía la situación de polos y ceros de un sistema en lazo cerrado cuando variamos un parámetro ajustable (normalmente la ganancia, aunque no necesariamente).
El Lugar de las Raíces constituye una potente herramienta, ya que proporciona información gráfica de un sistema, visualizando los efectos que produce sobre el mismo la variación de algún parámetro. Igualmente, proporciona una medida de la sensibilidad de las raíces a la variación del
parámetro utilizado.
Desde el punto de vista del diseño, un simple ajuste de la ganancia en algunos sistemas mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones deseadas. A continuación el problema de diseño se centra en la selección de un valor de ganancia adecuada. Si el ajuste de la ganancia no produce por sí solo un resultado conveniente, será necesario agregar al sistema un compensador.
Mediante el método del lugar geométrico de las raíces, el diseñador puede predecir los efectos que tiene en la ubicación de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o agregar polos y/o ceros en lazo abierto. Por tanto, es conveniente que el diseñador comprenda bien el método para generar los lugares geométricos de las raíces del sistema en lazo cerrado, ya sea en forma manual o mediante el uso de programas de computadora como MATLAB.
El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dicha gráfica muestra claramente cómo contribuye cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.
Al diseñar un sistema de control lineal, encontramos que el método del lugar geométrico de las raíces resulta muy útil, dado que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las especificaciones de desempeño del sistema. Este método es particularmente conveniente para obtener resultados aproximados con mucha rapidez.
En la mayor parte de los casos, el parámetro del sistema es la ganancia de lazo K, aunque el parámetro puede ser cualquier otra variable del sistema. Si el diseñador sigue las reglas generales para construir los lugares geométricos, le resultará sencillo trazar los lugares geométricos de las raíces de un sistema específico.Para nuestro estudio vamos a tomar diferentes valores de k, los mismos que se multiplicarán a la constante ya existente en el numerador de nuestra función de transferencia inicial.

Trabajamos con el sistema mostrado anteriormente para poder observar los cambios que se pueden hacer.
Presentamos a continuación la función de transferencia:

En primer lugra se hace el estudio mediante un istema eléctrico para puder ver como se comportaránuestro sistema en análisis cuando trabjemos en el laboratorio. El circuito que nos representa la funación de transferencia realimentadada estará compuesta de amplificadores operacionales y resistencias.

Para poder variar los valores de la constante K usaremos la resistencia Rf y asi obtener valors que nos ayuden a ver el efecto que ocurre al varia dicha constante. Los valores de resistencia que se usan se mencionan en cada uno de los gráficos.

1.35k


3.766k


528.5



129.5


1K



En segundo lugar hacemos un estudio de la función de transferencia mediante el uso de matlab, con lo cual también se incluye el análisis teórico. Todos los valores usados en esta parate son en base a los obtenidos anteriormente.

Transfer function:
1e009
---------------------
s^2 + 13700 s + 1e009

Transfer function:
1e009
---------------------
s^2 + 13700 s + 2e009
wn =4.4721e+004
E =0.1532
wd =4.4194e+004
O =6.8500e+003
B =1.4170
tr =3.9023e-005
tp =7.1087e-005
Mp =61.4500
ts2 =5.8394e-004
ts5 = 4.3796e-004



usamos también una herramienta que nos ofrece este progarama, como es el SISOTOOL, el cual se usa para hacer diseño y nos facilitará el trabajo.






1.35K

Transfer function:
1e009
---------------------
s^2 + 13700 s + 1e009


Transfer function:
1.35e009
------------------------
s^2 + 13700 s + 2.35e009

wn =4.8477e+004
E =0.1413
wd =4.7990e+004
O =6.8500e+003
B =1.4290
tr =3.5686e-005
tp =6.5463e-005
Mp =63.8636
ts2 =5.8394e-004
ts5 =4.3796e-004









3.766K
Transfer function:
1e009
---------------------
s^2 + 13700 s + 1e009

Transfer function:
3.766e009
-------------------------
s^2 + 13700 s + 4.766e009

wn =6.9036e+004
E =0.0992
wd =6.8696e+004
O =6.8500e+003
B =1.4714
tr =2.4313e-005
tp =4.5732e-005
Mp =73.1056
ts2 =5.8394e-004
ts5 =4.3796e-004







0.5285

Transfer function:
1e009
---------------------
s^2 + 13700 s + 1e009

Transfer function:
5.285e008
-------------------------
s^2 + 13700 s + 1.528e009

wn =3.9096e+004
E =0.1752
wd =3.8491e+004
O =6.8500e+003
B =1.3947
tr =4.5385e-005
tp =8.1618e-005
Mp =57.1732
ts2 =5.8394e-004
ts5 =4.3796e-004








0.1295

Transfer function:
1e009
---------------------
s^2 + 13700 s + 1e009

Transfer function:
1.295e008
-------------------------
s^2 + 13700 s + 1.129e009

wn =3.3608e+004
E =0.2038
wd =3.2903e+004
O =6.8500e+003
B =1.3655
tr =5.3979e-005
tp =9.5482e-005
Mp =51.9936
ts2 =5.8394e-004
ts5 =4.3796e-004








Con todos los valores de k




Datos experimentales