Compensador en Adelanto y Atrazo






























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Un compensador de adelanto de fase hará descender la ganancia de baja frecuencia y elevará el ángulo de fase de la frecuencia media total, relativas a la frecuencia de corte determinada por la constante de tiempo T. Normalmente se utiliza para mejorar el margen de fase. Es decir, puede mejorar la estabilidad relativa del sistema. Para compensar la pérdida de ganancia, es común aplicar una compensación de ganancia. El efecto combinado de estos dos compensadores se puede utilizar para incrementar el ancho de banda del sistema y, por ende, la velocidad de respuesta.














































































































































































































































Diseño de compensadores en adelanto y atrazo























































































































Los compensadores en Adelanto y Atraso se usan extensivamente en control. Un compensador en adelanto puede incrementar la estabilidad o velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso puede reducir (pero no eliminar) el error de estado estacionario. Dependiendo del efecto deseado, uno o más compensadores en adelanto y en atraso puede usarse en varias combinaciones. Los compensadores en atraso, adelanto y adelanto/atraso se diseñan normalmente para un sistema representado en la forma función de transferencia.














































































































































































































































Técnicas de compensación de adelanto basado en el enfoque de la respuesta























































































































La función principal del compensador de adelanto es volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensar el atraso de fase excesivo asociado con los componentes del sistema fijo. Suponga que las especificaciones del desempeño se dan en términos del margen de fase, del margen de ganancia, de las constantes de error estático de velocidad, etc. El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se plantea del modo siguiente:














































































































































































































































fig1



























































Compensador por adelanto o atrazo mediante el lugar geométrico de las raíces




























































Una idea muy cercana a la del control PID es la de compensación en atraso-adelanto.Un compensador de primer orden en adelanto puede diseñarse usando el lugar de raíces. Un compensador en adelanto en la forma de mapa polo-cero está dado por



























































fig2



























































Donde la magnitud de zo es menor que la magnitud de po. Un compensador por adelanto tiende a desplazar el lugar de raíces hacia el semiplano izquierdo. Esto resulta en una mejora en la estabilidad del sistema y un incremento en la velocidad de respuesta.
Cómo se logra esto, Recuerde como se hallaban las asíntotas del lugar de raíces que se dirigen a los ceros en el infinito, la ecuación para determinar la intersección de las asíntotas en el eje real es:


























































fig 3


























































Cuando un compensador en adelanto se adiciona a un sistema, el valor de esta intersección será un número negativo más grande que lo que había sido anteriormente. El número neto de polos y ceros será el mismo (se agregaron un cero y un polo), pero el polo agregado es un número negativo más grande que el cero agregado. Por lo que, el efecto de un compensador en adelanto es que la intersección de las asíntotas se muevan más hacia el semiplano izquierdo, y todo el root locus será desplazado a la izquierda. Esto puede incrementar la región de estabilidad así como la velocidad de respuesta.
Las redes de atraso y adelanto permiten modificar localmente la respuesta en frecuencia de la planta, respectivamente agregando o restando fase, dentro del rango de frecuencias comprendido entre el cero y el polo del compensador.
El compensador final en un diseño dado podía construirse como la cascada de varias redes de atraso o adelanto. De esta forma el diseño se subdividía en etapas, en cada una de las cuales se modificaban porciones específicas de la respuesta en frecuencia de la planta.
Estos compensadores eran muy fácilmente ajustados en forma gráfica utilizando los diagramas de Bode o Nyquist.
La red de adelanto aumenta la fase del sistema dentro de un rango limitado de frecuencias.

























































fig3
















































































































































































































































































































































La red de atraso disminuye la fase del sistema dentro de un rango limitado de frecuencias.












































































































































































































































































































































fig4












































































































































































































































































































































fig5










































































































































































































































































































































Efecto de compensación por adelanto en una planta de tipo fig5 En diagrama de Nyquist (izquierda) y Bode (derecha).


















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































COMPENSADOR POR ADELANTO O ATRASO MEDIANTE RESPUESTA EN FRECUENCIA
Un compensador de primer orden por adelanto puede diseñarse usando la respuesta en frecuencia. Un compensador en adelanto en la forma respuesta en frecuencia está dada por


















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































fig6









































































































































































































































































































































Note que esto es equivalente a la forma lugar de raíces (mapa polo-cero)





































































































































































figf7






































































































































































































































































































































Con p = 1/T, z = 1/aT, y Kc = a. En diseño por respuesta en frecuencia, el compensador por adelanto agrega fase positiva al sistema en el rango de frecuencias de 1/aT a 1/T. El diagrama de Bode de un compensador por adelanto se ve como el siguiente



































































































































































fig 8





















































































































































































































































fig 9


























































































































Las dos frecuencias de corte están en 1/aT y 1/T; note que la fase positiva que se adiciona al sistema entre esas dos frecuencias. Dependiendo del valor de a, la máxima fase adicionada puede ser hasta 90 grados; si necesita más que 90 grados de fase, puede usarse dos compensadores en adelanto. La cantidad máxima de fase se adiciona en la frecuencia central, la cual se ubica en








































fig10
















































































La ecuación que determina la máxima fase es







































fig 11
























































Una fase positiva adicional incrementa el margen de fase y por lo tanto incrementa la estabilidad del sistema. Este tipo de compensador se diseña determinando a de la cantidad de fase necesaria para satisfacer el requerimiento del margen de fase, y determinando T donde ubicar la fase adicionada a la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Otro efecto del compensador en adelanto puede verse en el gráfico de magnitud. El compensador en adelanto incrementa la ganancia del sistema a altas frecuencias (esta ganancia es igual a). Esto puede incrementar la frecuencia de corte, lo cual ayudará a bajar el tiempo de elevación y tiempo de asentamiento del sistema.



















































HALLANDO TEORICAMENTE:



















































fig12



















































La función de transferencia en lazo cerrado se convierte en:


















































fig13


















































Los polos en lazo cerrado se ubican en

















































fig14

















































El factor de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado es 0.5. La frecuencia natural no amortiguada de los polos en lazo cerrado es 2 rad/seg. La constante de error estática de velocidad es 2 seg-1.Se pretende modificar los polos en lazo cerrado para obtener la frecuencia natural no amortiguada Wn=4 rad/seg sin cambiar el valor del factor de amortiguamiento relativo (0.5).
















































Recuerde que, en el plano complejo, el factor de amortiguamiento relativo de un par de polos complejos conjugados se expresa en términos del ángulo teta,que se mide a partir del eje jw
















































fig15

En otras palabras, la razón de amortiguamiento constante tiene líneas radiales que pasan por el origen, Por ejemplo, un factor de amortiguamiento relativo de 0.5 requiere que los polos complejos se encuentren sobre las líneas dibujadas a través del origen, formando ángulos de (+-) 60” con el eje real negativo. (Si la parte real de un par de polos complejos es positiva, lo cual significa que el sistema es inestable, el factor de amortiguamioento relativocorrespondiente es negativo).
El factor de amortiguamiento relativo determina la ubicación angular de los polos, en tanto que la distancia del polo al origen la determina la frecuencia natural no amortiguada.
Las ubicaciones deseadas de los polos en lazo cerrado son
fig16
(a) Sistema de control;
(b) gráfica del lugar geométrico de las raíces.
fig17
(a) Polos complejos; (b) líneas de factor de amortiguamiento relativo constante
fig18
Insertaremos un compensador de adelanto en la trayectoria directa. Determine el ángulo necesario fig19 que se va a agregar para que la suma total de los ángulos sea igual a 180”(2k + 1). El compensador de adelanto debe contribuir a este ángulo fig20 . (Si el ángulo fig21 es suficientemente grande, tal vez se requiera de dos o más redes de adelanto en lugar de una.)
Si el sistema original tiene la función de transferencia en lazo abierto G(s), el sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto:
fig21
En donde:
fig22
El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto.Observe que un valor más grande de alfa producirá un valor más grande de kv, entre más grande sea la kv mejor será el desempeño del sistema.)
La ganancia en lazo abierto se determina mediante el uso de la condición de magnitud.
En el sistema actual, el ángulo de G(s) del polo en lazo cerrado deseado es
fig23
El compensador de adelanto debe contribuir con fhi igual a 30º en este punto. Siguiendo el procedimiento de diseño anterior, determinamos el cero y el polo del compensador de adelanto, como se aprecia en la figura, del modo siguiente:
cero en s=2.9, polo en s=-5.4
O bien
fig24
Por tanto, alfa igual a 0.537. La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en
fig25
En donde;
k=4kc
La gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado aparece en la figura. La ganancia K se calcula a partir de la condición de magnitud, del modo siguiente: remitiéndonos a la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema compensado de la figura, se calcula la ganancia K a partir de la condición de magnitud como
fig26
La constante Kc, del compensador de adelanto es
fig 27
fig28
fig29

El programa en MATLAB
Respuesta escalón unitaria de los sistemas compensado y no compensado

» numc= [0 0 18.7 54.23];
» denc = [1 7.4 29.5 54.23];
» num = [0 0 4];
» den = [1 2 4];
» t = 0 0.05 5;
» [c1,x1,t] = step(numc,denc,t);
» [c2,x2,t] = step(num,den,t);
» plot (t,c1,t,c1, '0',t,c2t,c2, 'x');
» grid
» title('Respuesta Escalón unitaria de los sistemas compensado y no compensado')


CONCLUCIONES:

· Tenemos precediemtos detallados para diseñar compensadores de adelanto,
· Mostramos que el diseño de un compensador que satisfaga las especificaciones planteadas, (en términos de margen de fase y margen de ganancia) se lleva acabo mediante los trazos de bode de manera simple y directa.
· Observe que un diseño satisfactorio de un compensador para un sistema complejo requiere de una aplicación creativa de estos principios de diseño básico.
· La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de fase.
· La compensación de adelanto suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad.
· La compensación en adelanto produce una frecuencia de cruce de ganancia más alta la que obtenerse con la compensación de atraso.
· La frecuencia de cruce de ganancia más alta significa un mayor ancho de banda.
· Un ancho de banda grande grande significa una reducción en el tiempo de asentamiento
· El ancho de banda de un sistema con compensación de adelanto siempre es mayor que la de otro con compensación de atraso.
· Si deseamos un ancho de banda grande o una respuesta rápida, debe emplearse una compensación de adelanto. Sin embargo si hay señales de ruidos presentes, talvez no es conveniente un ancho de banda grande, dado que este hace al sistema más susceptible a las señales de ruido, debido al incremento en la ganancia de frecuencia alta.
· Una compensación de adelanto requiere de un incremento adicional en la ganancia a fin de compensar la atenuación inherente a la red de adelanto. Esto significa que la compensación de adelanto requiere de una ganancia mayor que la que requiere la compensación en atraso.
· Una ganancia mayor casi siempre implica un mayor espacio y un costo más alto.

Controladores PID

En este capítulo veremos la familia de controladores PID, que mostraron ser robustos en muchas aplicaciones y son los que más se utilizan en la industria. La estructura de un controlador PID es simple, aunque su simpleza es también su debilidad, dado que limita el rango de plantas donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas inestables que no pueden estabilizadas con ningún miembro de la familia PID). En este capítulo estudiaremos los enfoques tradicionales al diseño de controladores PID.

Estructura del PID

Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad:


Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID.
  • P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funci´on transferencia queda:(1)

    donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempe˜no limitado y error en régimen permanente (off-set).

  • I: acción de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.(2)

    La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero.

  • PI: acción de control proporcional-integral, se define mediante(3)
    donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acción integral. La función de transferencia resulta:
    (4) Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo la señal de control será decreciente.
    Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero.
    Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escalón.
  • PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante:
    donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador.
    La acción de control derivativa nunca se utiliza por sola, sí debido a que sólo es eficaz durante períodos transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta:
    Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error sea estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable.
  • PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reune las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:
    y su función transferencia resulta:

Ajuste empírico de controladores PID

Debido a su difundido uso en la práctica, presentamos a continuación varios métodos de ajuste empírico de controladores PID, basados en mediciones realizadas sobre la planta real.
Estos métodos, referidos como clásicos, comenzaron a usarse alrededor de 1950.
Los métodos clásicos de ajuste que presentaremos son:
El método de oscilación de Ziegler-Nichols
El método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols
El método de la curva de reacción de Cohen-Coon
Método de oscilación de Ziegler-Nichols

Este método es válido sólo para plantas estables a lazo abierto.
El procedimiento es el siguiente:
1. Aplicar a la planta sólo control proporcional con ganancia Kp pequeña.
2. Aumentar el valor de Kp hasta que el lazo comience a oscilar. La oscilación debe ser lineal y debe detectarse en la salida del controlador (u(t)).
3. Registrar la ganancia crítica Kp = Kc y el período de oscilación Pc de u(t), a la salida del Controlador.
4. Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo al Cuadro 1.

Es importante saber cuál es la estructura (estándar, serie o paralelo) del PID al que se aplica el ajuste propuesto por Ziegler y Nichols. Existe cierta controversia respecto a cuál fue la estructura originalmente usada por Ziegler y Nichols; las reglas dadas aquí se proponen para la estructura estándar.
Desempeño con el método de oscilación de Z-N
Notar que el modelo intrínsecamente obtenido en el experimento es sólo un punto de la respuesta en frecuencia, que corresponde a fase -180º y magnitud Kc-1, dado que el diagrama de Nyquist cruza el punto (-1;0) cuando Kp = Kc.
Para analizar el efecto del ajuste de control proporcionado por el método de oscilación de Ziegler-Nichols consideremos una planta general con función transferencia

La Figura 1 muestra la respuesta del lazo cerrado con un controlador PID ajustado mediante el método de oscilación de Ziegler-Nichols para distintos valores de x = t0/g0. El eje de tiempos se representa normalizado en unidades de t/t0.

Vemos que el ajuste es muy sensible al cociente t0/g0. Otra limitación es que se require forzar en la planta una oscilación que puede ser peligrosa o inconveniente en muchos casos.
Método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols

Muchas plantas en la práctica pueden describirse satisfactoriamente con un modelo de la forma (3). Una versión linealizada quantitativa de este modelo puede obtenerse mediante un experimento a lazo abierto con el siguiente procedimiento:

1. Llevar manualmente la planta a lazo abierto a un punto deoperación normal manipulando u(t). Supongamos que laplanta se estabiliza en y(t) = y0 para u(t) = u0.
2. En un instante inicial t0 aplicar un cambio escalón en la entrada,de u0 a uoo (el salto debe estar entre un 10 a 20% delvalor nominal.
3. Registrar la respuesta de la salida hasta que se estabiliceen el nuevo punto de operación. La Figura 2 muestra unacurva típica.
4. Calcular los parámetros del modelo (3) de las fórmulas

Los parámetros del controlador PID propuestos por Ziegler y Nichols a partir de la curva de reacción se determinan del Cuadro 2.

Desempeño con el método de la CR de Z-N
Consideramos nuevamente la planta genérica (3) para analizar el desempeño obtenido con el ajuste de Ziegler-Nichols a partir de la curva de reacción.

Método de la curva de reacción de Cohen-Coon
La Figura 3 muestra que el ajuste de Ziegler y Nichols para la curva de reacción es muy sensible a variaciones de t/g0.
Cohen y Coon desarrollaron una tabla modificada para mejorar esta limitación usando datos del mismo ensayo.

Desempeño con el método de la CR de C-C
La Figura 4 muestra la respuesta de lazo cerrado con el ajuste Cohen-Coon. Aunque aún es sensible a x = t=g0, la respuesta es mucho más homogénea que con el ajuste Ziegler-Nichols.


Conclusiones
  • Los controladores PID se usan ampliamente en control industrial.
  • Desde una perspectiva moderna, un controlador PID essimplemente un controlador de segundo orden con integración.Históricamente, sin embargo, los controladoresPID se ajustaban en términos de sus componentes P, I y D.
  • La estructura PID ha mostrado empíricamente ofrecer suficienteflexibilidad para dar excelentes resultados en muchasaplicaciones.
  • El término básico en el controlador PID es el proporcional P, que origina una actuación de control correctiva proporcional el error.
  • El término integral I brinda una corrección proporcional a la integral del error. Esta acción tiene la ventaja de asegurar que en última instancia se aplicará suficiente acción de control
    para reducir el error de regulación a cero. Sin embargo, la acción integral también tiene un efecto desestabilizador debido al corrimiento de fase agregado.
  • El término derivativo D da propiedades predictivas a la actuación, generando una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. Tiende dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores en la señal de control.
  • Varios métodos empíricos pueden usarse para determinar los parámetros de un PID para una dada aplicación. Sin embargo, el ajuste obtenido debe tomarse como un primer paso en el proceso de diseño.
  • Debe prestarse atención al particular tipo de estructura de PID disponible (por ejemplo, estándar, serie o paralelo).