Controladores PID

En este capítulo veremos la familia de controladores PID, que mostraron ser robustos en muchas aplicaciones y son los que más se utilizan en la industria. La estructura de un controlador PID es simple, aunque su simpleza es también su debilidad, dado que limita el rango de plantas donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas inestables que no pueden estabilizadas con ningún miembro de la familia PID). En este capítulo estudiaremos los enfoques tradicionales al diseño de controladores PID.

Estructura del PID

Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad:

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID.

• P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funci´on transferencia queda:(1)
  
  donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempe˜no limitado y error en régimen permanente (off-set).


• I: acción de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.(2)
  
  La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero.


• PI: acción de control proporcional-integral, se define mediante(3)
  donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acción integral. La función de transferencia resulta: (4) Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo la señal de control será decreciente.
  Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero.
  Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escalón.
  

• PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante:
  donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador.
  La acción de control derivativa nunca se utiliza por sola, sí debido a que sólo es eficaz durante períodos transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta:Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error sea estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable.
• PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reune las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:
  y su función transferencia resulta:
  

Ajuste empírico de controladores PID

Debido a su difundido uso en la práctica, presentamos a continuación varios métodos de ajuste empírico de controladores PID, basados en mediciones realizadas sobre la planta real.
Estos métodos, referidos como clásicos, comenzaron a usarse alrededor de 1950.

Los métodos clásicos de ajuste que presentaremos son:
El método de oscilación de Ziegler-Nichols
El método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols
El método de la curva de reacción de Cohen-Coon

Método de oscilación de Ziegler-Nichols

Este método es válido sólo para plantas estables a lazo abierto.
El procedimiento es el siguiente:

1. Aplicar a la planta sólo control proporcional con ganancia Kp pequeña.
2. Aumentar el valor de Kp hasta que el lazo comience a oscilar. La oscilación debe ser lineal y debe detectarse en la salida del controlador (u(t)).
3. Registrar la ganancia crítica Kp = Kc y el período de oscilación Pc de u(t), a la salida del Controlador.
4. Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo al Cuadro 1.

Es importante saber cuál es la estructura (estándar, serie o paralelo) del PID al que se aplica el ajuste propuesto por Ziegler y Nichols. Existe cierta controversia respecto a cuál fue la estructura originalmente usada por Ziegler y Nichols; las reglas dadas aquí se proponen para la estructura estándar.

Desempeño con el método de oscilación de Z-N

Notar que el modelo intrínsecamente obtenido en el experimento es sólo un punto de la respuesta en frecuencia, que corresponde a fase -180º y magnitud Kc-1, dado que el diagrama de Nyquist cruza el punto (-1;0) cuando Kp = Kc.
Para analizar el efecto del ajuste de control proporcionado por el método de oscilación de Ziegler-Nichols consideremos una planta general con función transferencia

La Figura 1 muestra la respuesta del lazo cerrado con un controlador PID ajustado mediante el método de oscilación de Ziegler-Nichols para distintos valores de x = t0/g0. El eje de tiempos se representa normalizado en unidades de t/t0.

Vemos que el ajuste es muy sensible al cociente t0/g0. Otra limitación es que se require forzar en la planta una oscilación que puede ser peligrosa o inconveniente en muchos casos.

Método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols

Muchas plantas en la práctica pueden describirse satisfactoriamente con un modelo de la forma (3). Una versión linealizada quantitativa de este modelo puede obtenerse mediante un experimento a lazo abierto con el siguiente procedimiento:

1. Llevar manualmente la planta a lazo abierto a un punto deoperación normal manipulando u(t). Supongamos que laplanta se estabiliza en y(t) = y0 para u(t) = u0.

2. En un instante inicial t0 aplicar un cambio escalón en la entrada,de u0 a uoo (el salto debe estar entre un 10 a 20% delvalor nominal.

3. Registrar la respuesta de la salida hasta que se estabiliceen el nuevo punto de operación. La Figura 2 muestra unacurva típica.

4. Calcular los parámetros del modelo (3) de las fórmulas

Los parámetros del controlador PID propuestos por Ziegler y Nichols a partir de la curva de reacción se determinan del Cuadro 2.

Desempeño con el método de la CR de Z-N

Consideramos nuevamente la planta genérica (3) para analizar el desempeño obtenido con el ajuste de Ziegler-Nichols a partir de la curva de reacción.

Método de la curva de reacción de Cohen-Coon

La Figura 3 muestra que el ajuste de Ziegler y Nichols para la curva de reacción es muy sensible a variaciones de t/g0.
Cohen y Coon desarrollaron una tabla modificada para mejorar esta limitación usando datos del mismo ensayo.

Desempeño con el método de la CR de C-C

La Figura 4 muestra la respuesta de lazo cerrado con el ajuste Cohen-Coon. Aunque aún es sensible a x = t=g0, la respuesta es mucho más homogénea que con el ajuste Ziegler-Nichols.

Conclusiones

• Los controladores PID se usan ampliamente en control industrial.
• Desde una perspectiva moderna, un controlador PID essimplemente un controlador de segundo orden con integración.Históricamente, sin embargo, los controladoresPID se ajustaban en términos de sus componentes P, I y D.
• La estructura PID ha mostrado empíricamente ofrecer suficienteflexibilidad para dar excelentes resultados en muchasaplicaciones.
• El término básico en el controlador PID es el proporcional P, que origina una actuación de control correctiva proporcional el error.
• El término integral I brinda una corrección proporcional a la integral del error. Esta acción tiene la ventaja de asegurar que en última instancia se aplicará suficiente acción de control
  para reducir el error de regulación a cero. Sin embargo, la acción integral también tiene un efecto desestabilizador debido al corrimiento de fase agregado.
• El término derivativo D da propiedades predictivas a la actuación, generando una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. Tiende dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores en la señal de control.
• Varios métodos empíricos pueden usarse para determinar los parámetros de un PID para una dada aplicación. Sin embargo, el ajuste obtenido debe tomarse como un primer paso en el proceso de diseño.
• Debe prestarse atención al particular tipo de estructura de PID disponible (por ejemplo, estándar, serie o paralelo).