Sistemas de Segundo Orden: Lazo Abierto

En esta primera experiencia nos ocuparemos de un sistema eléctrico RLC (resistencia, bobina y capacitor), logrando así un sistema de segundo orden. Sistema que es analizado en lazo abierto para la señal de entrada vi respecto a la señal de salida vo.
El tipo señal de entrada será un escalón unitario.
El circuito es el siguiente:



Análisis Teórico

En primer lugar se realiza el estudio teórico de nuestro sistema.


Aplicándole la Transformada de Laplace a ambas ecuaciones:




Hallamos la función de transferencia:




Dándole forma al denominador:




Sabemos que, en general, la función de transferencia de un sistema de segundo orden tiene su denominador de la forma:


De ahí tenemos que:






Una vez que tenemos estos datos, ya podemos calcular los valores de R, L y C de acuerdo a las condiciones requeridas.
En esta oportunidad debemos obtener (por indicación del profesor) un sistema críticamente amortiguado, es decir, con un índice de amortiguamiento ζ = 1.


Pero debemos ser cuidadosos al momento de elegir valores, ya que no todos los valores que obtengamos serán comerciales. Por ello se ha optado por elegir los valores en el siguiente orden:


Primero, la bobina, por ser el elemento con menor cantidad de valores comerciales, ya que usualmente sólo se encuentran valores en µH, y por no poder colocar varias en serie y paralelo sin alterar el funcionamiento del sistema (inductancia mutua).

Segundo, el condensador, tiene mayor cantidad de valores comerciales que la bobina, y se puede encontrar valores que van desde los pF hasta los µF (inclusive se pueden encontrar condensadores variables), además que se pueden colocar en serie y paralelo sin alterar el sistema.

Tercero, la resistencia, por ser el elemento con mayor cantidad de valores comerciales y además porque podemos emplear un potenciómetro y variar el valor de la resistencia según nos convenga.

Teniendo en claro los pasos a seguir, procederemos a diseñar el circuito.
Para empezar, elegiremos una bobina de 10mH, un valor de inductancia comercialmente disponible. A lo que se acompañará con un condensador de 0.1uF. Sabiendo el valor de estos dos elementos y tomando en canta la condición de que se busca un sistema críticamente amortiguado, obtenemos un valor de resistencia igual a 63245.5532W.
Por lo tanto los valores elegidos son:
L = 10mH C = 0.1µF R = 63245.5532Ω
Reemplazamos estos valores para hallar la función de transferencia del sistema:


Análisis Teórico:

R=63245.5532;
L=10*10^-3;
C=0.1*10^-6;
num=1/(L*C);
den=[1 R/L 1/(L*C)];
Gp=tf(num,den)
step(Gp)
grid

Transfer function:

1e009
-------------------------
s^2 + 6.325e006 s + 1e009





Simulación:






Por motivos prácticos, cuando se realizó la parte experimental, se cambió el valor de la resistencia. Este cambio que nuestro sistema se convierta en un sistema del tipo subamortiguado.
Para obtener el valor de la resistencia que nos produzca un tipo de respuesta subamortiguado se usó un potenciómetro. El valor de la nueva resistencia es 137W. A continuación se presenta un nuevo análisis de nuestro sistema, esta vez haciendo el cambio de nuestra resistencia por el valor antes mencionado.



R=137;
L=10*10^-3;
C=0.1*10^-6;
num=1/(L*C);
den=[1 R/L 1/(L*C)];
Gp=tf(num,den)
step(Gp)
grid
title('Respuesta escalon unitario de Gp(s)')
wn=1/sqrt(L*C)
E=R/2*sqrt(C/L)
wd=wn*sqrt(1-E^2)
O=E*wn
B=atan(wd/O)
tr=(pi-B)/wd
tp=pi/wd
Mp=100*exp(-O/wd*pi)
ts2=4/O
ts5=3/O

Transfer function:
1e009
---------------------
s^2 + 13700 s + 1e009


wn =3.1623e+004
E =0.2166
wd =3.0872e+004
O =6850
B =1.3524
tr =5.7954e-005
tp =1.0176e-004
Mp =49.8042
ts2 =5.8394e-004
ts5 =4.3796e-004






A continuación presentamos un cuadro resumen conteniendo los principales resultados obtenidos.





Conclusiones:
  • En muchos casos practicas, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo.
  • Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que esta fácil de generar y es suficientemente drástica.
  • Por conveniencia al comprar respuestas transitorias de varios sistemas, en una practica común usar la condición inicial estándar de que el sistema esta en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo las características de respuesta se comparan con facilidad.
  • La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitaria es común especificar los siguientes: td, tr, tp, Mp, ts.
  • Se han dejado en blanco los valores de td para el análisis teórico y simulado, ya que no es posible especificar con claridad estos valores.

1 comentario:

German Buitrago dijo...

Gracias
Es el mismo laboratorio de Control y sensorica
Este semestre Lab me despejo de muchas dudas..