Información Teórica Previa

Introducción
Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema, disponemos de varios métodos para analizar el comportamiento del sistema. Los sistema de control se diseñan para conseguir un determinado comportamiento, tanto en régimen permanente como transitorio.
En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener una base de comparación del desempeño de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada.
Muchos criterios de diseño se basan en tales señales o en la respuesta del sistema a los cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba). El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales.
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.

El sistema general de segundo orden

Definimos dos especificaciones físicamente significativas para los sistemas de sendo orden. Se pueden usar estas cantidades para describir estas características de la respuesta transitoria de segundo orden. A continuación las definimos:

• Frecuencia natural, wn
  Es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento.
• Factor de amortiguamiento relativo,
  Relación que compara la frecuencia de decaimiento exponencial de la envolvente con la frecuencia natural. Este cociente es constante cualquiera que sea la escala de tiempo de la respuesta .

Nuestra función de transferencia general de segundo orden se ve finalmente como esto:

Sistemas subamortiguados de segundo orden
Es un modelo común para problemas físicos, muestra un comportamiento único que debe ser especificado; para el análisis y diseño es necesario una descripción detallada de la respuesta subamortiguada.
En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones.
Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.)
La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad.
La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:

Figura 1

1.-Tiempo de retardo, td (delay time): el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.

2.-Tiempo de levantamiento, de subida o de crecimiento, tr (rise time): el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.
Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

en donde B se define en la figura 2. Es evidente que para un valor pequeño de tr, wd debe ser grande.

Figura 2

3.-Tiempo pico, tp (peak time): el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.

4.-Sobrepaso máximo (porcentaje), Mg o %OS (peak overshoot). El sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante:

5.-Tiempo de asentamiento, de estabilización o de establecimiento, ts (settling time): el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar.

Las especificaciones en el dominio del tiempo que se proporcionaron son muy importantes, dado que casi todos los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo; es decir, deben presentar respuestas de tiempo aceptables. (Esto significa que el sistema de control debe modificarse hasta que la respuesta transitoria sea satisfactoria.) Observe que, si especificamos los valores de td, tr, tp, ts y Mp, la forma de la curva de respuesta queda prácticamente determinada. Esto se aprecia con claridad en la figura 3.
Observe que todas estas especificaciones no necesariamente se aplican a cualquier caso determinado. Por ejemplo, para un sistema sobreamortiguado no se aplican los términos tiempo pico y sobrepaso máximo. (En los sistemas que producen errores en estado estable para entradas escalón, este error debe conservarse dentro de un nivel de porcentaje especificado.
El tiempo de levantamiento, el tiempo de asentamiento y el tiempo de pico dan información acerca de la velocidad de la respuesta transitoria. Esta información puede ayudar al diseñador determine si la velocidad y la naturaleza de la respuesta degradan o no el desempeño del sistema.

Figura 3

Excepto para ciertas aplicaciones en las que no se pueden tolerar oscilaciones, es conveniente que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Por tanto, para una respuesta transitoria conveniente de un sistema de segundo orden, el factor de amortiguamiento relativo debe estar entre 0.4 y 0.8. Valores pequeños de factor de amortiguamiento (<> 0.8) responden con lentitud.
En la práctica, el diseño exitoso de un sistema de control no puede depender solamente de la selección de valores de los parámetros del sistema, de tal forma que se coloquen apropiadamente las raíces de la ecuación característica. Puede demostrarse que, aun cuando las raíces de la ecuación características, que son los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, afectan la respuesta transitoria de sistemas de control lineales e invariante con el tiempo, particularmente la estabilidad, los ceros de a función de transferencia, si existen algunos, son también importantes.